시계열 13장

ARCH와 GARCH 모형 – 변동성을 모델링하자

금융 시계열 데이터를 다루다 보면 수익률은 평균이 0에 가깝지만, 변동성은 시간에 따라 달라지는 특성을 자주 마주칩니다.
이럴 때 필요한 것이 바로 이분산 시계열 모형, 특히 ARCH, GARCH 모형입니다.

 

📌 이분산 시계열이란?

일반적인 ARIMA 모형은 분산이 일정하다는 가정(등분산)을 갖습니다.
그러나 환율, 주가수익률, 선물 등은 분산(리스크)이 시점에 따라 바뀌는 이분산(heteroskedastic) 특성을 보입니다.

 

1️⃣ ARCH 모형 (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

● 기본 개념

• 오차항의 분산이 시간에 따라 변하는 구조를 모형화
• 과거의 오차항 제곱 값이 현재 분산에 영향을 미침

● 수식 (ARCH(p))

εₜ = σₜ * zₜ, zₜ ~ i.i.d(0,1)

σₜ² = α₀ + α₁εₜ₋₁² + α₂εₜ₋₂² + … + αₚεₜ₋ₚ²

• εₜ: 오차항
• σₜ²: 조건부 분산 (시간에 따라 변함)
• α₀ > 0, αᵢ ≥ 0

● 특징

• 변동성 집중(volatility clustering) 을 설명할 수 있음
  • 큰 변동이 한동안 이어지고, 작은 변동도 이어지는 현상

 

2️⃣ GARCH 모형 (Generalized ARCH)

ARCH 모형을 확장해 조건부 분산의 자기회귀 구조를 추가한 모델

● 수식 (GARCH(p,q))

σₜ² = α₀ + α₁εₜ₋₁² + … + α_qεₜ₋_q² + β₁σₜ₋₁² + … + β_pσₜ₋_p²

• 과거 오차항뿐 아니라 과거 분산까지 함께 고려
• 가장 널리 쓰이는 형태는 GARCH(1,1):

σₜ² = α₀ + α₁εₜ₋₁² + β₁σₜ₋₁²

 

 

3️⃣ 모수 추정과 진단

● 추정 방법

• 조건부 최대우도법 (Conditional Maximum Likelihood)
• Quasi MLE (정규성 가정 없이도 일치추정 가능)

● 진단 방법

• ARCH 효과 검정: Lagrange Multiplier (LM) test, Engle (1982)
• 잔차의 정규성 검정: Jarque-Bera test, 정규확률그림 등

 

4️⃣ 예제: 금융 시계열 분석

● 예제 1: 환율 수익률

• 로그수익률을 통한 분석
• 변동성 집중 현상 명확 → GARCH 모델 적합성 높음

● 예제 2: KOSPI 수익률 (1999~2007)

• 로그 수익률 자료에 GARCH(1,1) 모형 적합
• 잔차 분석 및 분산 추정 결과 → 모형 적합도 양호

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 요약

구분 > ARCH, GARCH

핵심 구조	과거 오차의 제곱	과거 오차의 제곱 + 과거 분산
목적	변동성 모델링	더 유연하고 안정적인 변동성 모델링
적용 분야	금융 데이터, 리스크 관리, 파생상품 등

 

금융 데이터에서의 리스크 추정, 옵션 가격 결정, 포트폴리오 관리에는 ARCH / GARCH 모형이 필수입니다.