시계열 3장

평활법

: 시계열시스템(DGP)이 시간애 따라 약간씩 변화한다고 가정하면 최근자료에 비중을 더 높게 하여 예측하는 것이 합리적

1. 지수평활법: 최근 자료에 더 큰 가중값, 과거로 갈수록 지수적으로 줄여 나가는 방법

- 변화에 쉽게 대처 가능하며 계산이 쉽고 많은 자료의 저장이 필요 없다.

- 예측이 주목적

• 단순지수평활법: 로컬상수 모형

$$ Z_t=\beta_{0,t}+\epsilon_t $$

국지적으로 동일한 평균수준을 갖지만, 전체적으로는 평균 수준이 변화 가능한 모형이다. (B0의 추정값이 변화하는 추정값)

시점 n에서의 단순지수평활값:

$$ S_n^{(1)}=wZ_n+(1-w)S_{n-1}^{(1)} $$

- 평활값 Sn(1)은 관측값 Zn과 직전 시점 평활값 Sn-1(1)의 가중평균

- 평활값 Sn(1)은 B0의 비편향추정량이므로 평균수준 B0의 추정값으로 사용가능

 

평활상수: 0<w<1, (Zn이 관측되면 B0추정량을 갱신)

초기평활값: S0(1)점화식 계산에 필요함

- 초기평활값 S0(1)과 평활상수 w의 선정에 따라 Sn(1)이 달라진다.

(촤근 관측값일수록 가중값은 지수적으로 커짐/ 과거 관측값일수록 가중값은 지수적으로 작아짐)

시점 n에서 l-시차 후의 예측값 : 단순지수평활법에 의해 구한 예측값

$$ \hat{Z}_n(l)=\hat{\beta}_{0,n}=S_n^{(1)} $$

• 초기평활값 선택방법: 주관적을 결정
• 평활 상수 w선택 (매우 중요, 예측의 관점)

- n이 클 경우 초기 평활값은 중요한 역할 X, 초기 평활값 미리 지정

- 다양한 w에 대한 1-시차 후의 예측오차의 제곱합을 최소로 하는 w선택

- w값이 작으면 Sn(1)은 지엽적인 변화에 둔감(평활 효과 큼) ↔ w값 크면 최근의 관측값에 크게 영향을 받아 시계열의 지엽적인 변화에 민감하게 반응(평활 효과 작음)

• 이중지수평활법: 추세가 시간대별로 변화한다고 판단할때 사용

$$ Z_t=\beta_0+\beta_1t+\epsilon_t $$

로컬직선 모형: 국지적으로 동일한 평균수준을 갖지만, 전체적으로는 시간대별 추세의 약간 변화를 허용하는 모형

이중지수평활통계량:

$$ S_n^{(1)}=w\cdot Z_n+(1-w)\cdot S_{n-1}^{(1)} $$ $$ S_n^{(2)}=w\cdot S_n^{(1)}+(1-w)\cdot S_{n-1}^{(2)} $$

시점 n에서싀 Zn의 추정값(평활값):

$$ \hat{Z}_n=2S_{n}^{(1)}-S_{n}^{(2)} $$

시점 n에서 미래값 Zn+l의 이중지수평활법에 의한 예측값(가중합으로 표현):

$$ \hat{Z}_l=\left(2+w/(1-w)l \right)S_{n}^{(1)}-\left(1+w/(1-w)l\right)S_{n}^{(2)} $$